Question

什么是矩、一阶矩、二阶矩？

Answer 1

一阶矩就是随机变量的期望，二阶矩就是随机变量平方的期望。

一阶矩指E[X]，即数列X的均值称为一阶矩。

以此类推，E[Xn] ，n≥1，称为X的 n阶矩，也就是二阶矩、三阶矩...

矩有一阶矩、二阶矩、以后统称高阶矩，最常用的有一阶和二阶矩。一阶矩又叫静矩，是对函数与自变量的积xf(x)的积分(连续函数)或求和(离散函数)。力学中用以表示f(x)分布力到某点的合力矩，几何上可以用来计算重心，统计学中叫做数学期望（均值）。另外在统计学中还有二阶中心矩（方差）

下面列举一个相关例题：

• 设X1,X2,...,Xn是来自对数级数分布P(X=k)=−pkln(1−p)k,(0<p<1,k=0,1,2,...)的一个样本，求p的矩估计。

分析：这是问的非常直接的题目。上来就可以列式：

EX=∑k=1∞kP(X=k)=∑k=1∞−kpkln(1−p)k=−1ln(1−p)∑k=1∞pk=−1ln(1−p)⋅p1−p

令EX=1n∑ni=1Xi

很难从中抽出p的表达式。而且还不能就写p就在这个表达式的关系中。那么，可以考虑引入二阶矩。

EX2=∑k=1∞k2P(X=k)=∑k=1∞−k2pkln(1−p)k=−1ln(1−p)∑k=1∞kpk=−1ln(1−p)⋅p(1−p)2

令EX2=1n∑ni=1X2i

二式相除:

p^=1−X¯¯1n∑ni=1X2i

即为所求。也就是用样本的一阶矩和二阶矩构造了一元参数的估计量。