Question

2道积分题 谢谢了

1.设函数f（x）在（0，+∞）内连续，且f（1）=5/2，且对所有的x，t∈R,满足条件
∫f（u）du=t∫f（u）+x∫f（u）du，求f（x）。
该题的第一个积分号的上限是xt，第二个是x，第三个是t，所有积分号的下限是1

2。设f（x）在【0，1】上连续，（0,1）上可导，且满足f(1)=k∫xef（x）dx（k>1）证明存在一点m∈（0,1），使f′（m）=（1-m）f（m）。
该题中积分上限是1/k,下限是0 且需要证明的式子的等号右边的第一个m的指数为-1。

Answer 1

1.对x求导
tf(xt)=tf(x)+(1,t)∫f(u)du
原式对t求导
xf(xt)=(1,x)∫f(u)du+xf(t)
两式消去f(xt)
得xtf(x)-xtf(t)+x(1,t)∫f(u)du-t(1,x)∫f(u)du=0
t=1，xf(x)-xf(1)-(1,x)∫f(u)du=0
求解这个积分方程，令y=(1,x)∫f(u)du，所以y'=f(x)
即y'-y/x=5/2，为一阶线性微分方程
y=∫e^(∫1/xdx)dx[C+∫5/2e^(-∫1/xdx)dx]
=x^2[C+5/2lnx]
y(1)=0=C，所以y=5x^2lnx/2
所以f(x)=y'=5xlnx+5x/2

2.第二个那儿ef(x)是什么意思？是e^f(x)？是不是对k>1恒成立？
换元t=1/k，0<t<1
t对f构成泛函……这是什么题目啊？
f(1)t=(0,t)∫xe^f(x)dx，对t求导
f(1)=te^f(t)，f(1)=e^f(1)，f(1)不存在
哪儿是不是出了点问题？