Question

求∫dx/(√x +立方根(x^2))

希望过程详细，谢谢!

Answer 1

解:1、令t=x^(1/6)
则原式=∫dt^6/[t^3(1+t)]=6∫t^2dt/(1+t)=6∫(t-1)dt
+6∫dt/(1+t)=3t^2-6t+6ln(1+t)+C
代回成x:3x^(1/3)-6x^(1/6)+6ln[1+x^(1/6)]+C
2、令x=sint
则原式=∫dsint/cos^3t=∫dt/cos^2t=∫dtant=tant+C
再代回成x:x/(1-x^2)^0.5+C
这是一种换元.....好难解释啊....
假设F(x)+C=∫f(x)dx
这里面我先将x看作一个因变量x=φ(t)
则F(φ(t))+C=∫f(φ(t))φ'(t)dx=∫f(φ(t))dφ(t)
也就是说，我们用φ(t)代替了x，求得关于φ(t)的原函数之后，再代回成x
其中第一题可以看作x=t^6
呵呵~大致上可以这么理解
厄...你有疑问其实可以发消息过来....这里更新我发现不了.....
嗯，说得没错，这是这类不定积分的普遍做法。
至于x/(1-x^2)^0.5的由来:t=arcsinx
这个是反三角函数cosarcsinx=(1-x^2)^0.5