Question

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已知函数f(x) 对任意x,y∈R，总有f(x）+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)= - 2/3
(1) 判断并证明f(x)在区间（—∞，+∞）上的单调性
(2) 求f(x)在[-3,3]上的最大值与最小值

Answer 1

1、
f(x+y)-f(y)=f(x)
即f(x+y)-f(y)=f[(x+y)-y]
即f(x)-f(y)=f(x-y)

令x1>x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)
x1-x2>0,则f(x1-x2)<0
所以x1>x2,f(x)<f(x2)
所以是减函数

2、
f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=-2

令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(-x)=-f(x),所以是奇函数
f(-3)=f(3)=2

减函数
所以最大值=f(-3)=2
最小值=f(3)=-2