Question

如图,在△ABC中,角A=90°,∠C=30°,AB=1,两个动点P,Q同时从点A出发,但点P沿AC运动

如图，在△ABC中，角A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P,Q同时从点A出发，但点P沿AC运动，点Q沿AB,BC运动，两点同时到达点C。设AP=x，△APQ的面积为y，当Q在BC上运动时，用x表示y，写出x的取值范围，并求出y的最大值

Answer 1

解 由题意知 AB=1，BC=2 ,AB=根号3
两个动点P,Q同时从点A出发，但点P沿AC运动，点Q沿AB,BC运动，两点同时到达点C VQ=(根号3)VP SQ=(根号3)SP
所以当AP=X，Q在BC上运动时，BQ=（根号3）x-1>0 x>（根号3）/3
做QM⊥AC,QN⊥AB,可知QM=(3-(根号3)x)/2 QN=(（根号3)X-1)*(根号3)/2
则S△APQ=y=S△ABC-S△CPQ-S△AQB
所以y=（根号3）/2-1/2*（根号3-x）*（3-(根号3)x)/2-1/2*1*(（根号3)X-1)*(根号3)/2
化简y=3/4x-（(根号3)/4))x^2=-根号3/4（x^2-（根号3）x）=-根号3/4(（x-（根号3）/2）^2-3/4) =-根号3/4（x-（根号3）/2）^2+3（根号3）/16
所以当x=（根号3）/2时，也就是P在AC中点时，y有最大值3（根号3）/16

Answer 2

三角形各边长很容易得出 AB=1 BC=2 AC=根号3
AB/(AB+BC)=1/3 所以有 x≥三分之根号三 时，Q在BC上
设BQ=k
(1+k)/x=3/(根号3)
k=(根号3)x-1
在底AP上的高为1-1/2[(根号3)x-1]=3/2-1/2(根号3)x
y=1/2x[3/2-1/2(根号3)x]
=-(根号3)/4*(x²-(根号3)x)
现在就转变成函数的问题
当x等于二分之根号3时，y的值最大 为16分之3根号3

这种函数求最大最小值的问题往往可以通过画抛物线解决 你可以试一试
具体的求解我没写 实在是这个根号3太纠结了