Question

已知函数 f(x)=(x^2-4)^(2/3) ,求fx的极值

Answer 1

首先求f'(x)：
f'(x) = (2/3) (x^2-4)^(-1/3) (2x)
要使f(x)取极值，需要令f'(x)等于0：
(2/3) (x^2-4)^(-1/3) (2x) = 0
由于分母不可能为0，因此只有2x=0时，方程成立。因此x=0是f(x)的一个驻点。
接下来我们需要判断f(x)在x=0处的取值，或者通过f''(x)的符号来确定是否为极值。由于f'(x)在x=0处为0，因此需要计算f''(x)：
f''(x) = (2/3) (-1/3) (x^2-4)^(-4/3) (2x)^2 + (2/3) (x^2-4)^(-1/3) (2)
简化之后可得：
f''(x) = (4/3) (x^2-4)^(-4/3)
由于(x^2-4)^(-4/3)始终大于0，因此f''(x)恒大于0，说明f(x)在x=0处取得极小值。
因此，f(x)在x=0处取得极小值，极小值为f(0)=16^(2/3)=4*2^(2/3)。