Question

设f(x)的原函数为ex2，求不定积分∫x2f (x)dx．

Answer 1

【答案】：设u(x)=x²，f"(x)dx=d[v(x)]，则
∫x²f"(x)dx=∫x²d[f'(x)]=x²f'(x)-∫f'(x)d(x²)
=x²f'(x)-∫2xf'(x)dx=x²f'(x)-2∫xd[f(x)]
=x²f'(x)-2[xf(x)-∫f(x)dx]
=x²f'(x)-2xf(x>+2∫(x)dx
由于f(x)的原函数为e^x2，因此有
∫f(x)dx=e^x2+C，f(x)=(e^x2)=2xe^x2，
f'(x)=(2xe^x2)'=(2+4^x)e^x2
从而得到 ∫x²f"(x)dx=(4x⁴-2x²+2)e^x2+C．