Question

矩阵的特征值不同，则特征值所对应的特征向量也不同对吗？

Answer 1

为什么矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的呢?
命题应该是实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是相互正交的.证明如下：
设λ1,λ2是两个a的不同特征值,α1,α2分别是其对应的特征向量,有
a
*
α1
=
λ1
*
α1,a
*
α2
=
λ2
*α2
分别取转置,并分别两边右乘α2和α1,得
α1'
*
a'
*
α2
=λ2
*
α1'
*
α2,α2'
*
a'
*
α1
=λ1
*
α2'
*
α1
对应相减并注意到α2'
*
a'
*
α1=（α2'
*
a'
*
α1)'=
α1'
*
a'
*
α2
所以
(λ1
-
λ2)
α1'
*
α2
=
α1'
*
a'
*
α2
-
α2'
*
a'
*
α1
=
α1'
*
a'
*
α2
-
α1'
*
a'
*
α2
=0
而
λ1
-
λ2≠
0,因此
α1'
*
α2
=
0
即
α1与α2
正交.

Answer 2

这个可以用反正法，设两个不同特征值对应相同的特征向量a1,a2;
有
Aa1=t*a1;
Aa1=k*a2;
两式相减
(k-t)a1=0;
由于特征向量不是0向量
所以只有
k=t;这与特征值不同矛盾，所以命题不成立