Question

当-2≤x≤1时，二次函数y=-（x-m） 2 +m+1有最大值4，则实数m的范围是______．？

Answer 1

首先，我们需要明确一个二次函数的基本形式：$y = ax^2 + bx + c$。在这个问题中，我们可以将函数 $y = -(x-m)^2 + m+1$ 改写成这个基本形式，得到：
$$y = -x^2 + 2mx - m^2 + m + 1$$
现在我们知道这个函数的形式，可以通过求导数来找到它的最大值。对 $y$ 求导数，得到：
$$\frac{dy}{dx} = -2x + 2m$$
令 $\frac{dy}{dx} = 0$，解得 $x = m$，也就是说，函数的最大值出现在 $x=m$ 的位置。
由于当 $-2\le x \le 1$ 时，函数的最大值为 4，因此我们可以得到以下不等式：
$$4 = -(m-m)^2 + m + 1 \le -(2-m)^2 + m + 1 \le -(1-m)^2 + m + 1 \le -(m+1)^2 + m + 1$$
化简不等式，得到：
$$4 \le m^2 - 2m + 2 \le m^2 - 2m + 1 \le m^2 + 2m$$
移项整理得：
$$0 \le m^2 + 2m - 2 \le 3$$
这是一个一元二次不等式，我们可以通过求解其解集来找到 $m$ 的范围。首先，我们可以用求根公式得到这个一元二次方程的根：
$$m = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$
因此，$m$ 的范围是 $-1-\sqrt{2} \le m \le -1+\sqrt{2}$。