Question

复变函数的上，运用留数定理求实变函数e^(-x^2)在区间(-∞, ∞)上的定积分，函数原型为正态分布

留数定理计算定积分中有一种类型是这样的:
求实变函数f(x)在积分区间(-∞, ∞)上的定积分;复变函数f(z)在实轴上没有奇电,在上半平面除有限个奇点外是解析的;当z在上半平面及实轴上趋近于无穷时,z*f(z)一致地趋近于零.则此积分便可以用留数定理进行计算,且此积分值为:2πi*{f(z)在上半平面上所有的留数之和}
但是当我用这种方法计算此积分时,得到的积分值是零啊(它在整个复平面上都不存在奇点呀),但很明显它的积分值绝对不是零,到底是怎么回事?

Answer 1

注意这个定理的条件有个不成立：“当z在上半平面及实轴上趋近于无穷时,z*f(z)一致地趋近于零”
e^(-x^2)在x沿着虚轴正向趋于无穷的时候，是发散到无穷大的。

建议在理解这个定理的时候，可以结合扩充复平面的知识加深理解。