Question

初三数学题 关于圆（在线等答案~）

已知：AB是○O中长为4的弦，P是○O上一动点，cos∠APB=1/3，问是否存在以A.P.B为顶点的面积最大的三角形？若不存在，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积。

Answer 1

设p点到AB的髙为h，S三角形面积=1/2*h*4=2h；
s最大就是需要h最大。垂径定理可知当高线经过圆心垂直于AB的高是圆内最大的弦。
此时，为等腰三角形APB。你做个高线PH不难发现，APB是圆周∠，∠AOB是他的圆心∠。圆心角是圆周∠的2倍。∠AOH=∠APB。设半径为R；cos∠AOH=OH/R=1/3.OH=1/3R.
在直角三角形AOH中利用勾股定理求出R=3倍的二分之根号二。加上OH结果自己可以算出来，面积最大是4倍根号2.

Answer 2

存在的。
三角形的面积等于0.5*AB*h
h为PH，其中H为垂足。
当PH最大时三角形最大，而PH最大即PH经过圆心时候，这时候三角形为等腰三角形且∠HPB=∠HPA
圆心角等于圆周角的2倍，所以∠AOB=2∠APB
所以∠HOB=1/2∠AOB=∠APB
假设半径为R；cos∠HOB=OH/OB=1/3.
OH=1/3OB=1/3R
所以得到 1/9R平方+4=R的平方（勾股定理）
解得R=3√2/2,
所以h=R+1/3R=2√2
所以面积为 0.5*4*2√2=4√2
懂了吗 不懂问我