Question

5行5列长方形有几个长方形

Answer 1

在一个 $5\times 5$ 的长方形中，共有 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ 条横线和 $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ 条竖线，因此共有 $15\times 15 = 225$ 个小正方形。

计算包含在长方形内的长方形总数需要用到组合数的知识。对于 $m\times n$ 的矩形中的任意一个矩形，它的右下角坐标可以表示为 $(i,j)$，其中 $1\leq i \leq m$ 且 $1 \leq j \leq n$。于是，$m\times n$ 的矩形中所有可能的矩形的个数为

$$(1 + 2 + \cdots + m)\cdot(1 + 2 + \cdots + n) = \frac{m(m+1)}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}.$$

特别地，对于 $5\times 5$ 的长方形，共有

$$\frac{5\times 6}{2}\cdot\frac{5\times 6}{2} = 2250$$

个包含在长方形内的矩形。我们可以用枚举的方法计算其中满足要求的矩形的个数，也可以用容斥原理来解决这个问题。具体地，令 $A_1$ 表示所有以边界线为边的矩形集合，$A_2$ 表示所有以两条相邻边界线为边的矩形集合，$A_3$ 表示所有以三条相邻边界线为边的矩形集合，依次类推，则

$$A_1 = 25, $$
$$A_2 = 16\times 16, $$
$$A_3 = 9\times 9, $$
$$A_4 = 4\times 4, $$
$$A_5 = 1\times 1.$$

其中 $A_i$ 表示以 $i$ 条相邻边界线为边界的矩形集合大小。这里用到的是 $i$ 条边界线围成的矩形一共有 $(6-i)\times(6-i)$ 个的事实。因此，

所求的矩形个数为

$$\binom{2}{2}A_1 + \binom{3}{2}A_2 - \binom{4}{2}A_3 + \binom{5}{2}A_4 - \binom{6}{2}A_5 = 129.$$

最后，回答问题：$5\times 5$ 的长方形中，共有 129 个面积大于 1 的长方形。