Question

高手求教:用拉普拉斯变换求积分方程的解

Answer 1

积分方程需要转化为微分方程来求解
两边需对t求导，需要先把那个积分整理一下。
∫[0→t]
y(t-u)e^u
du
令t-u=x，则，du=-dx，x：t→0
=∫[t→0]
y(x)e^(t-x)
d(-x)
=∫[0→t]
y(x)e^(t-x)
dx
=e^t∫[0→t]
y(x)e^(-x)
dx
这样积分方程化为：
y(t)+e^t∫[0→t]
y(x)e^(-x)
dx=2t-3
(1)
两边除以e^t得：
y(t)e^(-t)
+
∫[0→t]
y(x)e^(-x)
dx
=
(2t-3)e^(-t)
两边对t求导得：
y'(t)e^(-t)
-
y(t)e^(-t)
+
y(t)e^(-t)
=
2e^(-t)
-
(2t-3)e^(-t)
即：y'(t)=2-(2t-3)
这样我们得到一个微分方程
将t=0代入(1)得：y(0)=-3，这是初始条件，这样一个积分方程就化为微分方程初值问题了。
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Answer 2

解：
运用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题,我认为具有如下优点：
(1)求解过程规范化,便于在工程技术中应用.
(2)因为取拉氐变换时连带初始条件,所以它比经典法(指高等数学中常微分方程的解法)使捷.
(3)当初始条件全部为零时(这在工程中是常见的),用拉氏变换求解特别简便.
(4)当方程中非齐次项(工程中称输入函数)因具跳跃点而不可微时(工程中也常见),用经典法求解是很困难的,而用拉氏变换求解却不会因此带来任何困难.
(5)因为对有些函数可以直接查拉氏变换表得出其像函数或像原函数,所以更显出用拉氏变换法求解的优点.