Question

已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1，0)，且l与函数g(x)=1...

已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1，0)，且l与函数g(x)=12x2+mx+72(m＜0)的图象也相切. (I)求直线l的方程及m的值; (Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g'(x)，求函数h(x)的最大值.

Answer 1

解答:解:(I)∵直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1，0)，
∴f′(x)=
1
x
，∴f(x)|x=1=1，及直线l的斜率为1，
∴直线l的直线为:y-0=1×(x-1)，
∴直线l的方程为:x-y-1=0;
∵直线l与函数g(x)=
1
2
x2+mx+
7
2
(m＜0)的图象也相切，
∴
1
2
x2+mx+
7
2
= x-1，整理方程得:x2+2(m-1)x+9=0，
∴△=4(m-1)2-4×9=0，
∴m=4或-2，
又∵m＜0，
∴m=-2;
(Ⅱ)若h(x)=f(x+1)-g'(x)=ln(x+1)-x+2，(x＞-1)
∴h′(x)=
1
x+1
-1=
-x
x+1
，
当-1＜x＜0时，h′(x)＞0，h(x)为增函数;
当x≥0时，h′(x)＜0，h(x)为减函数;
函数h(x)在x=0处取极大值，也是最大值，
hmax(x)=h(0)=2.