Question

16.求由抛物线+y=2-x^2+与直线+y=x+围成的平面图形的面积.

Answer 1

解：

根据题意及定积分的几何意义，得：

由：y=2-x²，y=x

解得：x1=1，y1=1或x2=-2，y2=-2，

∴由曲线y=2-x²与直线y=x所围成图形的面积：

S=∫(-2,1)(2-x²-x)dx

=(2x-x³/3-x²/2)|(-2,1)

=(2-1/3-1/2)-(-4+8/3-2)

=9/2。

答：由抛物线y=2-x^2与直线y=x围成的面积是9/2。

Answer 2

首先，求出抛物线与直线的交点坐标：
2 - x^2 = x + 1

x^2 + x - 1 = 0

x = (-1 ± √5) / 2

因为交点坐标的x值相差√5，所以把交点称作A和B，交点的纵坐标是A(3-√5)/2，B(3+√5)/2。

接下来，根据图形情况可以知道，所要求的面积为：∫(x=-√5/2→x=√5/2) [(2-x^2)-(x)]dx。

对上式进行积分，得到：

∫(x=-√5/2→x=√5/2) [(2-x^2)-(x)]dx

= [2x - (1/3)x^3 - (1/2)x^2]∣∣∣x=-√5/2到x=√5/2

= [√5 - (1/3)(√5)^3 - (1/2)(√5)^2] - [-√5 - (1/3)(-√5)^3 - (1/2)(-√5)^2]

= 5/3 + 5√5/2

所以，所求的抛物线与直线所围成的平面图形的面积为 5/3 + 5√5/2。