16.求由抛物线+y=2-x^2+与直线+y=x+围成的平面图形的面积.
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首先,求出抛物线与直线的交点坐标:
2 - x^2 = x + 1
x^2 + x - 1 = 0
x = (-1 ± √5) / 2
因为交点坐标的x值相差√5,所以把交点称作A和B,交点的纵坐标是A(3-√5)/2,B(3+√5)/2。
接下来,根据图形情况可以知道,所要求的面积为:∫(x=-√5/2→x=√5/2) [(2-x^2)-(x)]dx。
对上式进行积分,得到:
∫(x=-√5/2→x=√5/2) [(2-x^2)-(x)]dx
= [2x - (1/3)x^3 - (1/2)x^2]∣∣∣x=-√5/2到x=√5/2
= [√5 - (1/3)(√5)^3 - (1/2)(√5)^2] - [-√5 - (1/3)(-√5)^3 - (1/2)(-√5)^2]
= 5/3 + 5√5/2
所以,所求的抛物线与直线所围成的平面图形的面积为 5/3 + 5√5/2。
2 - x^2 = x + 1
x^2 + x - 1 = 0
x = (-1 ± √5) / 2
因为交点坐标的x值相差√5,所以把交点称作A和B,交点的纵坐标是A(3-√5)/2,B(3+√5)/2。
接下来,根据图形情况可以知道,所要求的面积为:∫(x=-√5/2→x=√5/2) [(2-x^2)-(x)]dx。
对上式进行积分,得到:
∫(x=-√5/2→x=√5/2) [(2-x^2)-(x)]dx
= [2x - (1/3)x^3 - (1/2)x^2]∣∣∣x=-√5/2到x=√5/2
= [√5 - (1/3)(√5)^3 - (1/2)(√5)^2] - [-√5 - (1/3)(-√5)^3 - (1/2)(-√5)^2]
= 5/3 + 5√5/2
所以,所求的抛物线与直线所围成的平面图形的面积为 5/3 + 5√5/2。
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