Question

如何证明位移中点的速度大于时间中点的速度用作差法？

Answer 1

要证明位移中点的速度大于时间中点的速度，可以使用差分法（差商）来进行推导。
假设物体在某个时间段内从位置x1到x2，对应的时间为t1到t2。我们可以计算位移中点的速度和时间中点的速度，然后进行比较。
位移中点的速度可以表示为：
v1 = (x2 - x1) / (t2 - t1)
时间中点的速度可以表示为：
v2 = (x2 - x1) / ((t2 + t1) / 2)
我们需要证明 v1 > v2。
首先，我们将 v1 和 v2 的分子相同进行化简：
v1 = (x2 - x1) / (t2 - t1)
v2 = 2(x2 - x1) / (t2 + t1)
接下来，我们可以对 v1 和 v2 进行比较：
v1 > v2
(x2 - x1) / (t2 - t1) > 2(x2 - x1) / (t2 + t1)
然后，我们可以通过交叉相乘的方式消去分母：
(t2 + t1)(x2 - x1) > 2(t2 - t1)(x2 - x1)
继续展开：
t2(x2 - x1) + t1(x2 - x1) > 2t2(x2 - x1) - 2t1(x2 - x1)
再次化简：
t2x2 - t2x1 + t1x2 - t1x1 > 2t2x2 - 2t2x1 - 2t1x2 + 2t1x1
合并同类项：
t1x2 - t1x1 > t2x2 - t2x1
再次化简：
t1(x2 - x1) > t2(x2 - x1)
由于 x2 - x1 不等于零，我们可以除以 (x2 - x1)：
t1 > t2
这意味着时间中点 t1 大于 t2，即位移中点的速度 v1 大于时间中点的速度 v2。
因此，我们通过差分法证明了位移中点的速度大于时间中点的速度。

Answer 2

设初速度为 v_0 ，末速度为 v_1 ，加速度为 a ，时间中点的速度为 v_t ，位移中点的速度为 v_s 。

根据运动学公式，物体运动时间 t=\frac{v_1-v_0}{a} ，运动位移 s=\frac{v_1^2-v_0^2}{2a} 。

所以 v_t=v_0+a\frac{v_1-v_0}{2a}=\frac{v_0+v_1}{2},v_s=\sqrt{v_0^2+2a\frac{v_1^2-v_0^2}{2\cdot2a}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v_1^2}{2}} 。

根据均值不等式， \frac{v_0+v_1}{2}\leq\sqrt{\frac{v_0^2+v_1^2}{2}} ，当且仅当 v_0=v_1 时取等号。

但显然，匀变速直线运动中 v_0\ne v_1 ，即等号无法取得，所以时间中点的速度一定小于位移中点的速度。