Question

定积分椭圆面积公式推导

Answer 1

椭圆是一个广泛应用于几何学和物理学的概念。在数学中，我们可以用定积分来求解椭圆的面积。
假设有一个椭圆，其长轴为2a，短轴为2b，我们可以将其分成无数个小矩形，每个小矩形的宽度为dx，高度为y。这些小矩形的面积之和就是椭圆的面积。
因为椭圆对称，我们可以只考虑椭圆的一个象限，然后将答案乘以4。因此，我们只需考虑椭圆第一象限内的面积。
我们可以将椭圆的方程表示为：
$\frac+\frac=1$
如果我们令x=acosθ，y=bsinθ，则可以将上述方程表示为：
$y=b\sqrt=b\sqrt=bsin\theta$
因此，椭圆第一象限内的面积可以表示为：
$A=\int_^}ydx=\int_^}b\sin\theta \cdot a\cos\theta d\theta$
通过简单的代数变换，我们可以将上式化为：
$A=ab\int_^}\sin\theta\cos\theta d\theta$
现在，我们可以使用三角函数的恒等式sin2θ=2sinθcosθ来化简上式：
$A=ab\int_^}\frac\sin2\theta d\theta$
将上式代入积分公式，得到：
$A=ab\left[-\frac\cos2\theta\right]_^}=-\fracab\cos\pi+\fracab\cos0=ab$
因此，椭圆的面积为4ab。这就是定积分椭圆面积公式的推导过程。