Question

对数均值不等式的证明方法

Answer 1

对数均值不等式是数学中的一种重要不等式，它用于描述一组正数的几何平均数与它们的算术平均数之间的关系。该不等式的表述为：对于任意一组正数x1、x2、...、xn，有下列不等式成立：

log((x1+x2+...+xn)/n) ≥ (logx1+logx2+...+logxn)/n

其中，log表示以10为底的对数，≥表示大于等于，n为正整数，x1、x2、...、xn为正数。

对数均值不等式的证明方法如下：

1.当n=2时，对数均值不等式可以直接用算数平均数和几何平均数的关系来证明。即有：

log((x1+x2)/2) ≥ (logx1+logx2)/2

两侧同时取指数，得到：

(x1+x2)/2 ≥ √(x1x2)

这是算术平均数和几何平均数的关系式，因此原命题成立。

2.当n>2时，可以采用归纳法来证明。

首先，假设原命题对于n=k-1时成立，即有：

log((x1+x2+...+xk-1)/(k-1)) ≥ (logx1+logx2+...+logxk-1)/(k-1)

接下来，考虑n=k时的情况，有：

log((x1+x2+...+xk)/k)

= log[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)×(k-1)/k+xk/k]

= log[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)]+log[(k-1)/k+xk/(k-1)]

根据对数函数的凹性质，有：

log[(k-1)/k+xk/(k-1)] ≤ [(log(k-1)/k)+(logxk/(k-1))]/2

将上式代入前面的式子中，得到：

log((x1+x2+...+xk)/k) ≥ [(log(x1)+log(x2)+...+log(xk-1))/(k-1)]+[(log(k-1)/k)+(logxk/(k-1))]/2

将上式中的前面一部分代入归纳假设，得到：

log((x1+x2+...+xk)/k) ≥ log[(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)]+[(log(k-1)/k)+(logxk/(k-1))]/2

两侧取指数，得到：

(x1+x2+...+xk)/k ≥ [(x1+x2+...+xk-1)/(k-1)]^1/2×[(k-1)/k+xk/(k-1)]^1/2

展开并化简，得到：

(x1+x2+...+xk)/k ≥ (x1x2...xk)^(1/k)

这是几何平均数的定义式，因此原命题对于n=k时也成立。

综上所述，对数均值不等式对于任意正整数n都成立，得证。