Question

设A为正交阵,且|A|=-1,证明K=-1是A的特征值

Answer 1

符号||既能代表向量（n×1阶）的模，又能代表方阵（n×n阶）的行列式，两个概念不能混淆。
|x|代表向量的模，一般不能直接与|A|这个行列式值相乘得到Ax的模。常数k的话，倒是可以相乘的，即kx的模等于k的模乘向量x的模。
正交矩阵的性质是Ax的模和x的模相等，即|Ax|=|x|（这是因为|Ax|^2=(A*x)'*(A*x)=x'*A'*A*x=x'*(A'*A)*x=x'*I*x=x'*x=|x|^2）。由Ax=lamda*x，两边取模|x|=|lamda|*|x|，因为|x|非零，因此可以推出|lamda|=1，即正交矩阵的特征值的模是1（包括复数的模）。
这道题的一个正确做法是：A的特征多项式的根即A的特征值，前面已经证明了他们的模都是1，而且复数特征值都是成对共轭地出现（代数基本定理，实系数多项式的复数根都是共轭成对出现），因为行列式等于特征值的乘积，所以
lamda(1)*lamda(2)*...*lamda(n)=|A|=-1，
如果lamda里没有-1，那个A的实特征值只能有+1，而且共轭模1的特征值的成对乘积都是+1，所以|A|就应该是+1，而不是-1，这就矛盾了。
网页参考：代数基本定理（仅作参考，证明太复杂，不需要细看）。