Question

汽车转弯方程的求解

现在我需要一个数学方程来计算汽车转弯时候前轮同车身夹角的变化

图片中左侧是一个汽车转向的示意图, 其中倾斜的小矩形代表前轮, 角 a 代表汽车的轴向同前轮的夹角, 如果前轮同其他参照物体的方向不变, 那么我想知道车身和前轮之间的夹角随着前轮的前进的关系. 如果设前轮的前进是 x, 那我想知道 夹角a 可以表示成x的方程是什么.

我自己试着分析了一下, 就是图片右侧区域:
be 代表车前轮和后轮之间的距离, b点代表两个前轮的中点, 问题其实可以简化成我对线段be一直施加一个bc方向的移动, 求 be 同bc之间夹角的变化. 当前夹角是 E
假设我先移动一个很小的量 bc, 也就是 dx, 那么整个车体会做两个动作,
1 沿 be 的方向移动了 cos(E), 也就是线段 ab
2 车身的头部便宜了 原来 be 直线一个很小的角度 ac
那么角 adc 就是角度的改变量, 新的车身同前轮方向的夹角 = E - adc

由于 ac 非常的小, 他其实近似的可以代表一段弧长, 那么角 adc 的大小(弧度表示)应该是: ac / ad (也就是车身长度) 也就是 dy

这时有方程:
dy = ac/be
但同时我们知道车身同轮胎的夹角会变小, 所以其实是:
dy = -ac/be = -bc.sin(E)/be = -dx.sin(E).be
如果我们设角度同移动距离的函数为 f(x), 车身长度叫做 length, 那么
dy/dx = -sin( f(x) ) / length
也就是
f'(x) = -sin(f(x))/length

以上的方程如果对于弧度成立, 那么对于角度应该同样成立.
这个函数对应的原函数应该是无数种, 但如果我们让 f(0) = 45, 那么应该只可以确定一条曲线. 我这个时候就像知道, 给定一个前轮的滚动距离如何算出新的倾角呢?

再推广一下, 如果我定义前轮同一个参照物之间的夹角是 abc 是变化的, 那么在前轮不停的变化方向的前提下, 给定一个时刻, 车身和前轮的夹角应该是怎样变化的呢?
例如前轮在做一个半径是 r 的圆周运动, 一个给定的时间 前轮的滚动距离同前轮和参照物之间夹角(也就是前轮当前的转动防线之间的夹角) 的方程是
g(x) = x/(2pi * r) 这个时候上面的方程又是什么样子呢?

如果可以解出方程, 那么可以求得汽车在做一个给定半径的圆形转弯时候车身同车轮稳定的夹角是多少.

Answer 1

现在我需要一个数学方程来计算汽车转弯时候前轮同车身夹角的变化

图片中左侧是一个汽车转向的示意图, 其中倾斜的小矩形代表前轮, 角 a 代表汽车的轴向同前轮的夹角, 如果前轮同其他参照物体的方向不变, 那么我想知道车身和前轮之间的夹角随着前轮的前进的关系. 如果设前轮的前进是 x, 那我想知道 夹角a 可以表示成x的方程是什么.

我自己试着分析了一下, 就是图片右侧区域:
be 代表车前轮和后轮之间的距离, b点代表两个前轮的中点, 问题其实可以简化成我对线段be一直施加一个bc方向的移动, 求 be 同bc之间夹角的变化. 当前夹角是 E
假设我先移动一个很小的量 bc, 也就是 dx, 那么整个车体会做两个动作,
1 沿 be 的方向移动了 cos(E), 也就是线段 ab
2 车身的头部便宜了 原来 be 直线一个很小的角度 ac
那么角 adc 就是角度的改变量, 新的车身同前轮方向的夹角 = E - adc

由于 ac 非常的小, 他其实近似的可以代表一段弧长, 那么角 adc 的大小(弧度表示)应该是: ac / ad (也就是车身长度) 也就是 dy

这时有方程:
dy = ac/be
但同时我们知道车身同轮胎的夹角会变小, 所以其实是:
dy = -ac/be = -bc.sin(E)/be = -dx.sin(E).be
如果我们设角度同移动距离的函数为 f(x), 车身长度叫做 length, 那么
dy/dx = -sin( f(x) ) / length
也就是
f'(x) = -sin(f(x))/length

以上的方程如果对于弧度成立, 那么对于角度应该同样成立.
这个函数对应的原函数应该是无数种, 但如果我们让 f(0) = 45, 那么应该只可以确定一条曲线. 我这个时候就像知道, 给定一个前轮的滚动距离如何算出新的倾角呢?

再推广一下, 如果我定义前轮同一个参照物之间的夹角是 abc 是变化的, 那么在前轮不停的变化方向的前提下, 给定一个时刻, 车身和前轮的夹角应该是怎样变化的呢?
例如前轮在做一个半径是 r 的圆周运动, 一个给定的时间 前轮的滚动距离同前轮和参照物之间夹角(也就是前轮当前的转动防线之间的夹角) 的方程是
g(x) = x/(2pi * r) 这个时候上面的方程又是什么样子呢?

如果可以解出方程, 那么可以求得汽车在做一个给定半径的圆形转弯时候车身同车轮稳定的夹角是多少.
楼上的仿我！
期望你已经会了！

Answer 2

其实我并不十分赞同您这种用数学来计算汽车转弯时候前轮同车身夹角的变化，这只能出现在数学考题中，而现实生活中要的是车感，当然给它数学化能更好的设计汽车

Answer 3

我是一个程序员, 需要在程序中实现这个效果所以才要这个方程.

Answer 4

用CAD画图试试呢