Question

0.9循环无限逼近一个固定的值，等于1吗?

Answer 1

0.9循环严格等于1，不是什么"无限逼近"“无限趋近于”，在数学里面，0.999....只是一种写法，一种记数方式，在数学家眼里，0.9循环就是1，只是写法不同。
小学课程中，会学到追赶问题的应用题，我以这个为例
甲乙两人相距100米，同向前进，乙在后追赶甲，
已知甲的速度1m/s，乙的速度2m/s，问多长时间后乙追上甲?
小学老师会告诉你这样解题，两者速度差是1m/s，相距100米就需要100秒来追上
2m/s-1m/s=1m/s
100m÷1m/s=100s
答：100秒后乙追上甲。
好，如果我们换个方式思考，乙要追上甲，首先要追到甲原来的位置，乙速度2米每秒，相距100米，需要50秒的时间追到甲原来的位置，但是同时甲也向前前进50秒了，也就是前进了50米，乙又要继续追到乙的位置，也就是还要前进50米，需要再花25秒，甲又前进了25米，乙又要花12.5秒追赶，以此类推，不断的追赶，总共需要的时间为
50+25+12.5+6.25+3.125+......整理一下式子为
100*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......)
也就是说，乙在不断接近甲原来的位置，需要的时间越来越短，到几秒，零点几秒，那这样乙到底能不能追到甲呢？
等你上了高中，老师会教你等比数列求和的算法，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
100*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+......)
=100*[(1/2) /(1-1/2)]
=100
嗯，看来高中老师和小学老师的答案是一样的，他们都没有骗你。
好，回到0.9循环的问题上，0.9循环可以看成是是一个等比数列的和
0.9+0.09+0.009+0.0009+...
=9/10+9/100+9/1000+9/10000+...
=9(1/10+1/100+1/1000+1/10000+...)
等比数列求和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=9[(1/10)/(1-1/10)]
=9*1/9
=1
也许以上的式子，你可能看不太懂，但是你只要记住一点，乙在100秒的时刻刚好追上甲，0.9循环就是等于1，
如果认为0.9循环是无限趋近于1，不能等于1
就相当于认为乙永远追上不甲，认为乙只能无限趋近于甲，这个是十分可笑的！