Question

请教一个初中几何题，求角度

如图，x=？

Answer 1

已知：D是△ABC内的一点，∠DBC=∠DCB=24°，∠ABD=30°，∠ACD=54°。
求：∠CAD记为x.
解：∠DBC=∠DCB=24°，
所以BD=CD,设为1，BC=2cos24°。
在△ABC中，B=54°，C=78°，A=48°，由正弦定理，
b=2cos24°*sin54°/sin48°=sin54°/sin24°，
c=sin78°/sin24°，
在△ABD中由余弦定理,AD^2=c^2+1-2c*cos30°=c^2-√3c+1,
在△ACD中由余弦定理，
cosx=[b^2+AD^2-CD^2]/(2b*AD)
=[(sin54°/sin24°)^2+(sin78°/sin24°)^2-√3sin78°/sin24°]
/{2sin54°/sin24°*√[(sin78°/sin24°)^2-√3sin78°/sin24°+1]}
≈5.57432919/6.436680917
≈0.866025403，

所以x≈30°。
解2 作DX⊥AB于X,DY⊥BC于Y,DZ⊥CA于Z,则
sinx=DZ/DA,sin(48°-x)=DX/DA,
sin30°=DX/DB,sin24°=DY/DB=DY/DC,
sin54°=DZ/DC,
所以sinx/sin(48°-x)*sin30°/sin24°*sin24°/sin54°
=DZ/DX*DX/DY*DY/DZ=1,
所以sinx=2sin(48°-x)sin54°，①
设f(x)=sinx-2sin(48°-x)sin54°(0°<x<48°)是增函数，有唯一零点。
sin18°=(√5-1）/4，
sin54°=cos36°=1-2sin^18°=（1+√5）/4，
f(30°)=1/2-2*(√5-1）/4*（1+√5）/4=0,
所以x=30°。