Question

什么是海涅定理？

Answer 1

海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。因此，函数极限的所有性 质都可用数列极限的有关性质来加以证明。

海涅定理的内容：

函数f(x)在x→x0时极限等于A的充要条件是，对于任何满足以下三个条件的数列{xn}，都有n→+∞时f(xn)的极限等于A成立：

（1）对任何正整数n，都有xn≠x0；

（2）对任何正整数n，f(xn)都要有定义；

（3）n→+∞时xn→x0.

要证明一个函数极限不存在有两种思路：

一是找到一个满足定理中三个条件的数列{xn}使得n→+∞时f(xn)的极限不存在；

二是找到两个满足定理中三个条件的数列{xn}和{x'n}使得n→+∞时f(xn)和f(x'n)不相等.

此外，若某个函数极限的值已经确定，则对应的数列极限也为此值，这里的理论依据也是海涅定理. 通过这个道理，我们可以将某些数列极限转化为函数极限进行计算（这样方便求导、使用洛必达法则等），然后转化回数列极限.

参考资料来源：百度百科-海涅定理