Question

求解一个微分方程

请问型如：y'-y^2=f(x)的特殊的黎卡提方程是否可以用初等方法求解析解？若不可以，可否给出一个特解？谢谢（ps:请看清，知道一般情况下无法求得通解，但形如上式的可否求出？若不行，给出一特解也可以，谢谢。)

Answer 1

_雪暖晴岚,你好：
黎卡提方程的一般形式为dy/dx=p(x)y2+q(x)y+r(x) (1) 1841年,法国数学家刘维尔(Liouville)已证明了方程(1)在一般情况下不能用初等方法求解,但当方程(1)的系数满足一定的条件时,可以用初等方法求解.在方程(1)中,若p(x)=0,则方程(1)为线性方程;若r(x)=0,方程(1)为伯努利方程。
虽然一般意义下，RACATTI方程其通解不可能用初等函数或初等函数的积分予以表示，但若知道它的一个特解 y=y1 (x) ,那么作变换 y=y1 +z,则可将黎卡提方程化为关于 z的贝努利方程 ,进而可求得黎卡提方程的解。在方程(1)中,当R(x)=0时方程为贝努利方程;当P(x)=rQ(x)=sR(x)时(其中r,s为常数)dydx=P(x)(y2+ry+s)是变量可分离方程,都可求通解。
楼主，你的这个例子符合第二种情况，即r(x)=0 的情况，因此是一个伯努利方程。可以求得通解的。

Answer 2

Answer 3

可以用初等方法求解，很多情况下这种方程做一个u=xy的代换可以直接化为分离变量形式求得解析解，除非是非导数项的三项都不为0，否则不要试图通过寻找一个特解来求解方程。这个方程f(x)没有给出具体形式所以不可能给出来特解。
不要拘泥于课本上的定义，多看一些例题，多数情况下解方程采用的是经验方法而不是书本上的定义，因为那个定义只是从理论上阐述这个方程的特性，实用性较差。
另外即使给你了一个特解也不要采用化为伯努利方程的方式来求，因为不论是人工求解还是编写程序求解这样做都不是很简单的办法。你如果仔细看书的话肯定会找到这样一个结论：黎卡提方程的求解过程等价于一个高阶齐次微分方程或者是常系数一阶线性方程组的初值问题，设出来变量化成方程组来求解是最简单的方式。