线性代数: 为什么这个矩阵可以对角化
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矩阵对角化，前提是不是特征值不能有相同的吗?
否则特征向量有相同的，特征向量矩阵就不可逆了，没法对角化。
答：你的这种说法错误！不是说特征值相同就不能对角化，而是：
定理：如果矩阵有n个线性无关的特征向量，则矩阵可对角化
也就是说：只要重特征值有重根数的线性无关向量，那么特也可以对角化（不同特征值，对应的特征项向量一定线性无关）
那么，单位矩阵E呢?
特征方程|E-LamdaE|=0，两个解都是1，也就是特征值有两个1，然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解，发现0=0，任意解。
也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E，结论是显然的。
问题是：为什么E的特征值有重复，特征向量解不出任意解，仍然是一个"可被对角化"的矩阵?
这个和我的第一话有冲突，那么第一句话是错的？还是E就是一个例外?
答
因为E的特征值为1，而(E-LamdaE)x=0的解，有n个线性无关的解，即有n个线性无关的特征向量，那么就可以对角化，而不是什么特例的说法！
否则特征向量有相同的，特征向量矩阵就不可逆了，没法对角化。
答：你的这种说法错误！不是说特征值相同就不能对角化，而是：
定理：如果矩阵有n个线性无关的特征向量，则矩阵可对角化
也就是说：只要重特征值有重根数的线性无关向量，那么特也可以对角化（不同特征值，对应的特征项向量一定线性无关）
那么，单位矩阵E呢?
特征方程|E-LamdaE|=0，两个解都是1，也就是特征值有两个1，然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解，发现0=0，任意解。
也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E，结论是显然的。
问题是：为什么E的特征值有重复，特征向量解不出任意解，仍然是一个"可被对角化"的矩阵?
这个和我的第一话有冲突，那么第一句话是错的？还是E就是一个例外?
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因为E的特征值为1，而(E-LamdaE)x=0的解，有n个线性无关的解，即有n个线性无关的特征向量，那么就可以对角化，而不是什么特例的说法！
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
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矩阵的相似：
设a，b为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵p存在，使得p^(-1)*a*p=b成立,则称矩阵a与b相似,记为a~b。
所以只要把两矩阵特征值分别求出来
若相等则相似
好像还有其他方法
我忘了
书本上有
至于判断对角化
将n阶矩阵化成阶梯形矩阵
然后看该对角化矩阵是否有n个线性无关的特征向量
也就是秩是否和n相等
若相等则可对角话
设a，b为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵p存在，使得p^(-1)*a*p=b成立,则称矩阵a与b相似,记为a~b。
所以只要把两矩阵特征值分别求出来
若相等则相似
好像还有其他方法
我忘了
书本上有
至于判断对角化
将n阶矩阵化成阶梯形矩阵
然后看该对角化矩阵是否有n个线性无关的特征向量
也就是秩是否和n相等
若相等则可对角话
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