一道高中数学题:已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),①求证:f(
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(1)首先,f(x)的定义域为R,∴其定义域是关于原点对称的
其次,证明f(x)+f(-x)=0
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令x=-y,则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函数
(2)∵f(x)是奇函数,∴f(3)=-f(-3)=-a
∴令x=y,得f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a
其次,证明f(x)+f(-x)=0
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令x=-y,则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函数
(2)∵f(x)是奇函数,∴f(3)=-f(-3)=-a
∴令x=y,得f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a
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①令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0)
∴f(0)=0
再令y=-x,得:0=f(x)+f(-x)
∴f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数
②令x=y,则有:f(2x)=2f(x)
∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a
∴f(0)=0
再令y=-x,得:0=f(x)+f(-x)
∴f(-x)=-f(x)
即f(x)是奇函数
②令x=y,则有:f(2x)=2f(x)
∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4f(-3)=-4a
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1)
令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0
令y=-x,得:f(x-x)=f(x)+f(-x)
因此有f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
2)令y=x,得f(x+x)=f(x)+f(x)
即f(2x)=2f(x)
故f(4x)=f(2*2x)=2f(2x)=4f(x)
因此f(12)=f(4*3)=4f(3)=-4f(-3)=-4a
令x=y=0,得:f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0
令y=-x,得:f(x-x)=f(x)+f(-x)
因此有f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x)
所以f(x)为奇函数
2)令y=x,得f(x+x)=f(x)+f(x)
即f(2x)=2f(x)
故f(4x)=f(2*2x)=2f(2x)=4f(x)
因此f(12)=f(4*3)=4f(3)=-4f(-3)=-4a
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