Question

离散数学关系作为集合运算

Answer 1

看来你在自学离散数学？
仔细看看课本，传递的定义是：如果有
和
属于r，则一定也要有
属于r。（这个定义的结构也是a->b型的。）
换个方式来描述这个定义：如果r中有可以传承的两个有序对，则一定要完成这个传承。简单说，就是“能传承的都传承了！”（反过来想，如果没有传递的前提，即a为假，那么a->b为真，具有传递性）
如果还不理解，再换个通俗说法：翻译过来是如果x可以找到y，y可以找到z，那么理论上x也应该可以找到z，这就叫传递。
看看两个例子（设a均为{1,2,3})：
一、r={<1,2>,
<2,3>}
我们认为这个关系没有传递性！为什么？能传递的没有完成传递（1能找到2,2能找到3，那么1应该也可以找到3，但此关系中没有出现<1,3>，说明传承出现了问题）
二、r={<1,2>}
有传递性！因为能传的都传到了。（没有可以传承的有序对，1可以找到2，但2找不到其他元素）
三、{<1,2>,
<2,1>}
没有传递性，1能找到2，2能找到1，那么传承后1应该也能找到1（自己找自己，有点奇怪吧？打个比方而已），同理2也能找到2，因此{<1,2>,
<2,1>,
<1,1>,
<2,2>}才具有传递性。注意：定义中的x,y,z并没有要求是不同的元素，比如此例中可以认为是x=z=1，y=2。
四、{<1,1>,
<2,2>,
<3,3>}
有传递性，如果x=y=z=1会怎样呢，1找到1,1找到1，所以1可以找到1！（2,3类似）
逻辑的东西比较麻烦，但想通了后会很简单。

Answer 2

集合上每个等价关系对应集合的一种划分,集合的每一种划分又对应于该集合的一个等价关系,不同的等价关系对应于集合的划分也不同,因此集合有多少不同划分,就有多少不同等价关系,三个元素的集合共有5种不同划分,(含有1块和3块各有1种,含有2块有3种),故含有三个元素的集合，可以确定5种等价关系.
如A={1，2，3}，则5种不同划分为
{{1},
{2},
{3}};{{1},
{2,3}};{{1,3},
{2}};{{1,2},
{3}};{{1,
2,
3}};
对应的等价关系为
R1={(1,1),(2,2),(3,3)};R2={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)};
R3={(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(3,3)};
R4={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)};
R5={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)};
一般地,对有n个元素的集合有Bn种不同的划分(等价关系),
Bn=2n!/((n+1)n!n!),如4个元素的集合，可以确定14种等价关系.