Question

2道简单 求微积分题

Answer 1

微分1.
d(e^√2x+1)=e^√2x+1d(√2x+1)=(e^√2x+1)/(√2x+1)dx
2.
d(sinx·e^x)=sinxd(e^x)+e^xd(sinx)=e^x（sinx+cosx)dx
积分1.设(√2x+1)=t,则积分可转化：∫e^td(t^2/2-1/2)=∫te^tdt
运用分部积分法设：dv=e^tdt
u=t
∫te^tdt=te^t-∫e^t
dt
=te^t-e^t+C
反换元得=√2x+1e^√2x+1-e^√2x+1+C
2.运用分部积分法设:u=sinx
dv=e^xdx
∫sinxe^xdx=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫e^xcosxdx
同理运用分部积分法∫e^xcosxdx=e^xcosx-∫sinxe^xdx
代入上式得∫sinxe^xdx=0.5e^x（sinx-cosx)+C

Answer 2

d是由y=x^3,y=1,
x=-1所围成的
i=∫∫{d}x［1+yf(x^2+y^2)］dxdy=
=∫{-1->1}[∫{x^3->1}dy]xdx+
+∫∫{d1}xyf(x2+y2)dxdy+∫∫{d2}xyf(x^2+y^2)dxdy
d1是由y=x^3,y=1,
x=-1,y=0所围成的,
d2是由y=x^3,
x=-1,y=0所围成的.
i=∫{-1->1}[1-x^3]xdx+∫∫{d1}xyf(x^2+y^2)dxdy+∫∫{d2}xyf(x^2+y^2)dxdy
=-2/5+∫∫{d1}xyf(x^2+y^2)dxdy+∫∫{d2}xyf(x^2+y^2)dxdy
2.j=∫∫{d2}xyf(x^2+y^2)dxdy,
通过u=-x,v=-y的换元得
j=∫∫{d2}xyf(x^2+y^2)dxdy=∫∫{d3}xyf(x^2+y^2)dxdy
d3是由y=x^3,
x=1,y=0所围成的.==》
3。i=-2/5+∫∫{d1}xyf(x^2+y^2)dxdy+∫∫{d3}xyf(x^2+y^2)dxdy=
=-2/5+∫∫{d4}xyf(x^2+y^2)dxdy，
d4是由x=1,y=1,
x=-1,y=0所围成的。
d4是y轴对称，xyf(x^2+y^2)是关于x的奇函数==》
∫∫{d4}xyf(x^2+y^2)dxdy=0==》
i=-2/5。