Question

已知函数 ,（1）求 的单调区间；（2）若 ，求 在区间 上的最值

Answer 1

（1）（0，＋∞）（2）由⑴知，当
x
∈（－1，0）时，
＞0，当
x
∈（0，＋∞）时，
＜0，因此，当
时，
≤
，即
≤0∴
．
令
，则
＝
∴
当
x
∈（－1，0）时，
＜0，当
x
∈（0，＋∞）时，
＞0．∴
当
时，
≥
，即
≥0，∴
综上可知，当
时，有
试题分析：⑴函数
f
(
x
)的定义域为
．
＝
－1＝－
.
由
<0及
x
>－1，得
x
>0．∴
当
x
∈（0，＋∞）时，
f
(
x
)是减函数，即
f
(
x
)的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当
x
∈（－1，0）时，
＞0，当
x
∈（0，＋∞）时，
＜0，
因此，当
时，
≤
，即
≤0∴
．
令
，则
＝
．……………8分
∴
当
x
∈（－1，0）时，
＜0，当
x
∈（0，＋∞）时，
＞0．
∴
当
时，
≥
，即
≥0，∴
．
综上可知，当
时，有
．……………………………………12分
点评：求单调区间时首先确定其定义域，第二问将证明不等式问题转化为求函数最值问题，进而可利用导数通过求其最值确定不等式的正确性

Answer 2

在区间
上的最大值是
最小值是-
解：已知
，则
.
（1）若
时，
总成立，则
为单调递增；
若
时，当
时，即
，
单调递增；
当
时，即
，
单调递减。
综上：当
时函数
的增区间为
，当
时，
的递增区间为
，
，递减区间为
（2）若
，有
，
，
当
时，由（1）得
的增区间为
，
，减区间为
，所以，
有极小值
，极大值
。又由于
，
，因此，函数
在区间
上的最大值是
最小值是-