设方程x^2+3x+1=0的两根为x1,x2,则x1^7+x2^7=?
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法一：设f(x)=x^2+3x+1,则f'(x)=2x+3
f'(x)/f(x)商为2,-3,7,-18,47,-123,322,-843,……
所以x1^7+x2^7=-843
如果上式不懂的话用
法二：
设an=x1^n+x2^n,利用恒等式
a(n+1)=(x1+x2)(x1^n+x2^n)-x1x2[x1^(n-1)+x2^(n-1)]=-3an-a(n-1)
将初值a0=2,a1=-3代入上述递归式可得
a2=-3a1-a0=7,a3=-21+3=-18,a4=54-7=47,a5=-141+18=-123,a6=369-47=322,a7=-966+123=-843
f'(x)/f(x)商为2,-3,7,-18,47,-123,322,-843,……
所以x1^7+x2^7=-843
如果上式不懂的话用
法二：
设an=x1^n+x2^n,利用恒等式
a(n+1)=(x1+x2)(x1^n+x2^n)-x1x2[x1^(n-1)+x2^(n-1)]=-3an-a(n-1)
将初值a0=2,a1=-3代入上述递归式可得
a2=-3a1-a0=7,a3=-21+3=-18,a4=54-7=47,a5=-141+18=-123,a6=369-47=322,a7=-966+123=-843
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