Question

急求∫tan^(-1)(1/x)dx 及 ∫sin^6xcos^2xdx详细解答，且要用到分部积分法的~~大家帮帮忙啦！！！

Answer 1

∫tan^(-1)(1/x)dx

=∫arctan(1/x)dx

=xarctan(1/x)-∫xdarctan(1/x)

=xarctan(1/x)-∫x·1/[1+(1/x)²]·(-1/x²)dx

=xarctan(1/x)+(1/2)∫1/(x²+1)d(x²+1)

=xarctanx(1/x)+(1/2)ln(x²+1)+C

对第二个积分，先推导递推公式：

∫sin^nxdx

=-∫sin^(n-1)xdcosx

=-sin^(n-1)x·cosx+∫cosxdsin^(n-1)x

=-sin^(n-1)x·cosx+(n-1)∫sin^(n-2)x·cos²xdx

=-sin^(n-1)x·cosx+(n-1)∫[sin^(n-2)x-sin^nx]dx

移项，合并，整理得

∫sin^nxdx=-1/nsin^(n-1)x·cosx+[(n-1)/n]∫sin^(n-2)xdx

利用该递推公式，可以计算第二个积分如图所示。 

（唉楼下的小鬼，难道你的眼睛有毛病？！是谁先用“唉1、2楼两位大神”的语气说话的？在这里骂人暴露了你素质极其低下！）

Answer 2

∫arctan(1/x)dx
=∫(x)'arctan(1/x)dx
=xarctan(1/x)-∫x*{1/[1+x^(-2)]}*[-1/x^2]dx
=xarctan(1/x)+∫1/(x+1/x)dx
=xarctan(1/x)+∫x/(x^2+1)dx
=xarctan(1/x)+ln(x^2+1)/2+C

∫sin^6(x)cos^2(x)dx
=sin^7(x)cosx/7-∫sin^7(x)*(-sinx)/7dx
=sin^7(x)cosx/7+(1/7)*∫sin^8(x)dx
=sin^7(x)cosx/7+(1/7)*∫sin^8(x)dx
=sin^7(x)cosx/7+(1/7)*∫sin^8(x)dx
=sin^7(x)cosx/7+(1/7)*∫sin^6(x)*[1-cos^2(x)]dx
所以(8/7)∫sin^6(x)cos^2(x)dx=sin^7(x)cosx/7+(1/7)*∫sin^6(x)dx
∫sin^6(x)cos^2(x)dx=sin^7(x)cosx/8+(1/8)*∫sin^6(x)dx
接下来，唉，就是递推
∫sin^6(x)dx=-cosxsin^5(x)-5∫sin^4(x)cos^2(x)dx
=-cosxsin^5(x)-5∫sin^4(x)[1-sin^2(x)]dx
=-cosxsin^5(x)-5∫[sin^4(x)-sin^6(x)]dx
所以∫sin^6(x)dx=(-cosxsin^5(x)/6-5/6∫sin^4(x)dx
∫sin^4(x)dx=[∫(1-cos2x)^2dx] / 4
=(3/8)x-(1/4)sin2x+sin4x/32+C
=(3/8)x-(3/8)sinxcosx-(1/4)sin^3(x)cosx+C
这下好看一点了，呼，呼，开始代入吧
∫sin^6(x)cos^2(x)dx
=(1/8)sin^7(x)cosx-(1/48)sin^5(x)cosx+5/192sin^3(x)cosx+15/384sinxcosx-15x/384+C
啊……终于写完了，也许你会奇怪答案怎么会这么长，这是因为我想尽量让这个式子整齐一些(都由sin^n(x)cosx组成)，如果是sinx，sin2x，sin4x混合答案会短很多。简单的方法肯定是有的。

Answer 3

唉1、2楼两位大神，∫sin^6xcos^2xdx为什么不变成∫sin^6x(1-sin^2x)dx=∫sin^6x-sin^8xdx计算,然后用瓦里斯公式算

对不起没看到图片
不过，（唉楼下的小鬼，难道你的眼睛有毛病？！）不用这种口气说活能死呗，你个老不死的