Question

如图所示，已知AD为等腰三角形ABC的底角的角平分线，角C =90°,求证：AB =AC + CD.用两种方法证明

Answer 1

作DE⊥AB交AB于点E
∵AD平分∠A
∴∠CAD=∠DAB
△ACD≌△AED
∴AC=AE
CD=DE
又∵DE⊥AB
∠B=45°
∴△BDE是等腰直角三角形
BE=DE
∴AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，证明:过D做DE垂直AB,垂足为E
对于角CAE,AD为其角平分线,角C为直角,角AED为直角,
可知三角形ACD全等于三角形AED,
所以CD=DE(也可以用"角平分线上的点到角两边距离相等"定理得到)
AC=AE
三角形ABC是等腰直角三角形,可知角B等于45度.
则三角形BED也是等腰直角三角形,DE=BE
所以CD=BE
所以AB=AE+EB=AC+CD
即原式得证

Answer 2

作DE⊥AB交AB于点E
∵AD平分∠A∴∠CAD=∠DAB
△ACD≌△AED
∴AC=AE
CD=DE
又∵DE⊥AB
∠B=45°
∴△BDE是等腰直角三角形
BE=DE
∴AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB