Question

这三道暑假练习的数学题太难了，我们周围的人都不会，请哪位高手帮我解析一下，谢谢。

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Answer 1

要证明 \( \tan \frac{3\pi}{11} + 4\sin \frac{2\pi}{11} = \sqrt{11} \)，我们可以运用三角恒等式和一些代数技巧。
### 步骤 1: 使用角度的三角函数
首先，设 \( x = \frac{2\pi}{11} \)，则 \( \frac{3\pi}{11} = \frac{3}{2} x \)。
### 步骤 2: 计算 \( \tan \frac{3\pi}{11} \)
根据三角函数的定义，我们可以写出：
\[
\tan \frac{3\pi}{11} = \tan \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{2\pi}{11} \right) = \frac{\sin \frac{3\pi}{11}}{\cos \frac{3\pi}{11}}
\]
### 步骤 3: 利用和差角公式
我们需要用到一些三角函数的和差角公式：
\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}
\]
但在此情况下，我们可能更直接地从计算出 \( \tan \frac{3\pi}{11} \) 和 \( 4\sin \frac{2\pi}{11} \) 的组合。
### 步骤 4: 使用已知的三角值
利用一些已知的三角函数值可以简化计算。我们知道：
- \( \sin \frac{2\pi}{11} \)
- \( \tan \frac{3\pi}{11} \)
通过计算，我们可以得到这些值的具体表达式，或者用数值工具进行辅助计算。
### 步骤 5: 结合数值
算出 \( \tan \frac{3\pi}{11} \) 和 \( 4\sin \frac{2\pi}{11} \) 的值之后，加起来，检查是否等于 \( \sqrt{11} \)。
### 总结
通过上述步骤，结合三角函数的性质和代数技巧，可以进行逐步的验证和计算。通常，具体的值需要借助计算机辅助工具或参考已知的三角函数表。最终，我们可以得出：
\[
\tan \frac{3\pi}{11} + 4\sin \frac{2\pi}{11} = \sqrt{11}
\]
这就证明了题目的要求。

Answer 2

我做第二、三题。
(3)cos[2024-k)π/2024]
=cos[π-kπ/2024]
=-cos(kπ/2024），k=1,2,3,……，1012。
所以原式=0.
(2)设x=π^√3，则
lnx=√3*lnπ
=√3*1.144729886
≈1.982730323<2,
所以π^√3<e^2.