Question

已知数列an的前n项和为sn且sn=2n+1_2，求数列an通项公式，设数列bn满足bn=sn/a

Answer 1

解：因为an=sn-sn-1
所以
sn=2^n-2
故an=sn-sn-1
=（2^n+1-2）—（2^n-2）
=2^n+1—2^n
=2^n
因为
bn=sn/an
所以bn=2^n+1-2/2^n
=2-1/2^n-1
等比数列求和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-an×q)/(1-q)
(q≠1)
(q为公比，n为项数
故tn=b1+b2+b3+......+bn
=2n_(1/2^0+1/2^1+.....+1/2^n-1)
=2n-
1(1-1/2^n)/(1-1/2)
=2n-
1/2+1/2^n+1

Answer 2

1）n=1时，a1=s1=2+2=4
n>1时，an=sn-s(n-1)=2n²+2n-2(n-1)²-2(n-1)=2(2n-1)+2=4n
故可统一表示为an=4n.
tn=2-bn
n=1时，b1=t1=2-b1,
解得b1=1
n>1时，bn=tn-t(n-1)=-bn+b(n-1),得：bn=(1/2)b(n-1)
即{bn}是公比为1/2的等比数列，得bn=(1/2)^(n-1)
2)cn=(4n)²/2^(n-1)=n²/2^(n-5)
c(n+1)/cn=(n+1)²/(2n²)
解不等式(n+1)²/(2n²)≥1
得：
n²+2n+1≥2n²
n²-2n-1≤0
(n-1)²≤2
得：
n≤2
即当n≤2时，有c(n+1)≥cn
当n>2时，有c(n+1)
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