Question

一道解方程，微积分有关

当c（c>0）取什么值时，方程x^2=c*lnx有且只有一个解?
可是为什么要对c求导呢？我的意思是为什么可以这样做？我比较笨能不能讲详细点...我给你加分

Answer 1

设f(x)=x^2-clnx
f'(c)=2x-c/x，f''(x)=2+c/x^2>0
令f'(x)=0得x=√(c/2)或x=-√(c/2)（舍去）
故f(x)在x=√(c/2)取最小值，最小值为
f(√(c/2))=c/2-c/2ln(c/2)
方程x^2=c*lnx有且只有一个解须满足
f(√(c/2))=c/2-c/2ln(c/2)=0
即ln(c/2)=1，c=2e

Answer 2

c=2e;
解 步骤:
1) 方程x^2=c*lnx有且只有一个解 所以函数 y=x^2 与 函数 y=c*lnx 图形相切
2) 利用二者切线斜率(一次微分)在切点相同: 2x=c*(1/x) 得 2x^2=c 再将 x^2 替换为 c*lnx，得 2 c*lnx =c，得 lnx =1/2，即得切点之x座标为 e^(1/2)
3) 将 e^(1/2) 代入原方程x^2=c*lnx，得 c=2e

Answer 3

x=1,不行
x不等于1.c=x^2/lnx
求导(2x*lnx-x)/lnx的平方
导函数=0 x=根下e
c=2e