在曲线y=x^2-x上求一点p使点p到A(0,1)的距离最近。
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解答：
设p(m,m²-m)为曲线y=x^2-x上一点。
则|pa|²
=m²+(m²-m-1)²
=m²+m^4+m²+1-2m³-2m²+2m
=m^4-2m³+2m+1
设f(m)=m^4-2m³+2m+1
∴
f'(m)=4m³-6m²+2
=2(2m³-3m+1)
=2(2m³-2m-m+1)
=2[2m(m-1)(m+1)-(m-1)]
=2(m-1)(2m²-m-1)
=2(m-1)²(2m+1)
∴
m>-1/2,
f'(m)≥0，f(m)递增，
m∴
f(m)的最小值为f(1/2)=1/16+1/4-1+1=5/16
∴
m=-1/2时，|pa|²的最小值为5/16
∴
p点为(-1/2,3/4)，|pa|的最小值为√5/4
设p(m,m²-m)为曲线y=x^2-x上一点。
则|pa|²
=m²+(m²-m-1)²
=m²+m^4+m²+1-2m³-2m²+2m
=m^4-2m³+2m+1
设f(m)=m^4-2m³+2m+1
∴
f'(m)=4m³-6m²+2
=2(2m³-3m+1)
=2(2m³-2m-m+1)
=2[2m(m-1)(m+1)-(m-1)]
=2(m-1)(2m²-m-1)
=2(m-1)²(2m+1)
∴
m>-1/2,
f'(m)≥0，f(m)递增，
m∴
f(m)的最小值为f(1/2)=1/16+1/4-1+1=5/16
∴
m=-1/2时，|pa|²的最小值为5/16
∴
p点为(-1/2,3/4)，|pa|的最小值为√5/4
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