Question

求不定积分 1/sqrt(1+x+x^2)

Answer 1

首先，有这个基本公示（可以用三角换元推）：
∫ 1/sqrt(x^2+1) = ln(x+sqrt(x^2+1))
然后，x^2+x+1 可以写成 3/4 × [(2(x+1/2)/√3)^2 + 1]，
令 u = 2(x+1/2)/√3，则 du = 2/√3 dx，所以
∫ 1/sqrt(1+x+x^2) dx
= 2/√3 ∫ 2/√3/sqrt[2(x+1/2)/√3)^2 + 1] dx
= 2/√3 ∫ 1/sqrt(u^2+1) du
= 2/√3 ln(u+sqrt(u^2+1))
= 2/√3 ln[2(x+1/2)/√3+sqrt(4/3(x^2+x+1))]

Answer 2

∫dx/√(1+x+x²)
=∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)²+3/4]
有公式：∫du/√(u²±a²)=ln|u+√(u²±a²)|+c
这里，u=x+1/2， a²=3/4
就是 原式=∫d(x+1/2)/√[(x+1/2)²+3/4]
=ln|x+(1/2)+√[(x+1/2)²+3/4]+c
=ln|x+(1/2)+√(1+x+x²)|+c

Answer 3

原式=dx/sqrt((x+1/2)^2+3/4)=d(x+1/2)/sqrt((x+1/2)^2+(根号3/2)^2);由于a^2/(x^2+a^2)dx=1/a^2*arctan(x/a);固原式=3/4*arctan((x+1/2)/sqrt(3/4));

Answer 4

如图