Question

若c=2，求三角形ABC面积最大时a，b的值

Answer 1

半截题目？例如：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
(2a+b)/c=cos(A+C)/cosC.
（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．
（1）∵A+C=π-B，即cos（A+C）=-cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：(2sinA+sinB)/sinC=-cosB/cosC
整理得：2sinAcosC+sinBcosC=-sinCcosB，即-2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=-1/2，∵C为三角形内角，∴C=2π/3
（2）∵c=2，cosC=-1/2，∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即4=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤4/3，（当且仅当a=b时成立），
∵S=1/2*absinC=√3/4*ab≤√3/3，∴当a=b时，△ABC面积最大为
√3/3，此时a=b=2√3/3。

Answer 2

余弦定理b/sinb=c/sinc,∴csinb=bsinc,∴a=bcosc+csinb=bcosc+bsinc=b(cosc+sinc)=b√2sin(c+π/4)=2√2sin(c+π/4).
s⊿abc=1/2absinc=2√2sin(c+π/4)sinc=2sin²c+2sinccosc=sin2c-cos2c+1=√2sin(2c-π/4)+1.
当c=3π/8时，s⊿abc取最大值，s⊿abcmax=√2+1.
sinb=bsinc/c,b=arcsin(bsinc/c).