Question

已知a.b.c分别是△ABC中<A,<B,<C的对边，关于x的一元二次方程a(1-x²）+2bx+c(1+x²）=0有两个相

的实数根，且3c=a+3b

①判断△ABC的形状；

②求sinA+sinB的值

O(∩_∩)O谢谢啦~

Answer 1

方程即（c-a）x²+2bx+（a+c）=0
∵方程有两个相等的实数根
∴△=4b²-4（c+a)(c-a)=0
∴b²=c²-a²
∴△ABC是直角三角形
∵3c=a+3b
两边平方得9c²=a²+9b²+6ab
代入c²=a²+b²得8a²=6ab
即a：b=3：4
∵3c=a+3b
由正弦定理得 3sinC=sinA+3sinB，sinA：sinB=3：4
又sinC=1
∴3=5sinA
∴sinA=0.6
∴sinB=0.8
∴sinA+sinB=1.4

Answer 2

有一个角为30度的直角三角形。
把原方程变形，(c-a)x2+2bx+(c+a)=0.
=>a2+b2=c2,=>所以是直角三角形，且a和b为三角形的直角边
又因为3c=a+3b,两边平方，得9c2=a2+9b2+6ab,
将a2+b2=c2两边同乘9，结合上式可得a/b=3/4，即tan(α)＝3/4，

Answer 3

(1)将原方程整理成(c-a)x^2+2bx+c+a=0
△=4b^2-4(c-a)(c+b)=0
整理得 a^2+b^2=c^2
所以△ABC为直角三角形
(2)C=90度
由定弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC,得到
(a+b)/(sinA+sinB)=c/sinC=c
所以sinA+sinB=a/c+b/c
设x=a/c,y=b/c
则a^2+b^2=c^2可化为x^2+y^2=0
3c=a+3b可化为x+3y=3
把x=3(1-y)代入x^2+y^2=0 解得y=1或y=4/5
由于b不等于c，所以y不等于1,所以y=4/5
代入x+3y=3可得x=3/5
所以sinA+sinB=a/c+b/c=7/5