Question

求和：n/2^n （n=1,2,3,…,∞）比如：1/2 + 2/4 + 3/8...

求和：n/2^n （n=1,2,3,…,∞） 比如：1/2 + 2/4 + 3/8 ……

Answer 1

不十分严谨但是结果正确的简单求法如下:1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+...=
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+...
+1/4+1/8+1/16+1/32+...
+1/8+1/16+1/32+...
+1/16+1/32+...
+1/32+...
...=
1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=
2.一种严谨的做法如下:首先由D'Alembert比值判别法易得∑{1
≤
n}
n/2^n收敛,
设S
=
∑{1
≤
n}
n/2^n.则S/2
=
∑{1
≤
n}
n/2^(n+1)=
∑{1
≤
n}
(n+1)/2^(n+1)
-
∑{1
≤
n}
1/2^(n+1)=
∑{2
≤
n}
n/2^n
-1/2=
∑{1
≤
n}
n/2^n
-1/2-1/2=
S-1.解得S
=
2.