Question

双曲线的题目

设P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上任一点,F2是双曲线的右焦点,分别以PF2和双曲线实轴为直径作圆，是判断两圆位置关系

Answer 1

解：由于点P在双曲线上，可设P（asecθ,btanθ）
（1）当P在双曲线右支上时，asecθ>a,
PF2中点A的坐标为（（c+a secθ)/2，（btanθ）/2）
|PF2|=easecθ-a=csecθ-a
|AO|^2=(c+a secθ)^2/4+(btanθ)^2
整理得|AO|^2=（a+c secθ)^2/4
由于asecθ>a>0，c>0, 则a+c secθ>0,
故|AO|=(a+c secθ)/2
又因为两圆半径之和为a+|PF2|/2=a+（csecθ-a）/2=|AO|
所以，此时两圆相外切.
（2）当P在双曲线左支上时，a secθ<-a
PF2中点A的坐标为（（c+a secθ)/2，（btanθ）/2）
|PF2|=a-easecθ=a-csecθ
|AO|^2=(c+a secθ)^2/4+(btanθ)^2
整理得|AO|^2=（a+csecθ)^2/4
由于a secθ<-a且a<c,则a+csecθ<0
故|AO|= - (a+c secθ)/2
又因为两圆半径之和为PF2|/2-a=（a-csecθ）/2 - a=|AO|
所以，此时两圆相内切.