Question

什么是导数的定义

Answer 1

导数实质上就是一个求极限的过程
当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.
导数的几何意义是斜率
1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：
①
求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)
②
求平均变化率
③
取极限,得导数.
2）如果你已学导数公式
①
C'=0(C为常数函数)；
②
(x^u)'=
ux^(u-1)
(n∈Q)；
③
(sinx)'
=
cosx
（cosx)'
=
-sinx；
④
(a^x)'
=
a^xlna
（ln为自然对数）
记住(e^x)'
=
e^x；⑤
(logax)'
=(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1)
(x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1)
记住
(Inx)'
=
1/x（ln为自然对数）
（3）导数的四则运算法则（和、差、积、商）：①(u±v)'=u'±v'
②(uv)'=u'v+uv'
③(u/v)'=(u'v-uv')/
v^2
（4）复合函数的导数
y(x)'=y'*x

Answer 2

导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
　　导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative
function）（简称导数）。
　　y=f(x)的导数有时也记作y'，即
f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
　　物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
　　以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。
为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。
有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
　　注意：1.f'(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。
　　2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。
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