Question

设a,b,c为ΔABC的三边，求证：方程x^2＋2ax＋b^2＝0与x^2＋2cx－b^2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°。

Answer 1

x^2+2ax+b^2=0
x^2+2cx-b^2=0
x^2+2ax+b^2=x^2+2cx-b^2
2(a-c)x=-2b^2
x=b^2/(c-a)
x+x1=-2a
xx1=b^2
x(-2a-x)=b^2
b^2/(c-a)(-2a-b^2/(c-a)=b^2
-2a-b^2/(c-a)=c-a
-2a(c-a)-b^2=c^2-2ac+a^2
a^2=b^2+c^2
A=90
A=90
a^2=b^2+c^2
b^2=a^2-c^2
x^2+2ax+a^2-c^2=0
(x+(a-c))(x+(a+c))=0
x1=c-a,x2=-(a+c)
x^2+2cx+c^2-a^2=0
(x+c-a)(x+c+a)=0
x3=a-c,x4=-(c+a)
x2=x4
有公共根