Question

累加法求数列的通项，求其中一过程详解

Answer 1

如果数列的通项满足an－a(n－1)=f(n)的话,一般可以采用此法.
举例：若数列{an}满足a1=1
,a(n+1)=an+2^n
求数列{an}的通项公式
因为a(n+1)-an=2^n
所以有：
a2-a1=2
a3-a2=2²
a4-a3=2³
.
an-a(n-1)=2^(n-1)
把以上各式累加得（这就是累加法）
an-a1=2+2²+2³+.2^(n-1)
an-1=2+2²+2³+.2^(n-1)
an=1+2+2²+2³+.2^(n-1)
an=2^n-1
验证当n=1时,a1=2-1=1适合an=2^n-1
所以数列{an}的通项公式an=2^n-1
注意：用累加法求通项公式时一般要n=1时的情况.

Answer 2

将an+1=an+(2n-1)变形，得到a（n+1）-an=(2n-1)
依此类推得到
an-a(n-1)=2(n-1)-1
a（n-1）-a(n-2)=2(n-2)-1
......
a3-a2=2*2-1
a2-a1=2*1-1
叠加后
左边=an-a(n-1)+a（n-1）-a(n-2)+……a3-a2+a2-a1=an-a1
右边=2*(1+2+....+(n-1))-(n-1)*1=(n-1)^2
an-a1=(n-1)^2
因为a1=0
an=(n-1)^2
这样写，是否看得懂