Question

高中数学 几何难题

Answer 1

1°
周长一定的封闭曲线中，如果围成的面积最大，则必为凸图形．
若为该图形凹，可任作一条与曲线凹进部分有两个交点的直线，作该曲线在两交点间一段弧的对称曲线，则可得一个与之等周且面积更大的图形．
2°
周长一定的面积最大的封闭曲线中，如果点A、B平分其周长，则弦AB平分其面积．
若AB不平分其面积，则该图形必有在AB某一侧面积较大，如图，不妨设N>M，则去掉M作N的关于AB的对称图形N’，则由N、N’组成的图形周长与原来的相等，但面积更大．
3°对于既平分周长与又平分面积的弦AB，只考虑该图形在AB的任一侧的一半，若C为此段弧上任一点，则∠ACB=90°．否则可把此图形划分为三块M、N、P，只须改变∠ACB的大小，使∠ACB=90°，则M、N的面积不变，而P的面积变大．
这说明，此半段曲线必为半圆，从而另一半也是半圆．
当然这个证明是假定最大值存在。
如果去掉这个假设
初等数学无能为力了。。。

Answer 2

假设周长为a，则
圆半径r=a/2pai
圆面积s=pai*r^2=pai*a/2/pai*a/2/pai=a^2/4/pai
正方形边长b=a/4
面积S=b^2=a^2/16
假设长方形边长为c,d
则
a/2=c+d>=2*(c*d)^(1/2)
则S=c*d<=a^2/16
当c=d时
即为正方形是面积
由于4*pai<16，所以圆的面积最大