Question

1*1+2*2+3*3+……+n*n

Answer 1

我用~这个符号表示一个数的几次方，例如：3~3表示3的3次方。
因为（n+1)~3 = n~3+3n~2+3n+1
再写一遍 （n+1)*（n+1)*（n+1) = n*n*n+3n*n+3n+1
所以（n+1)~3-n~3 = 3n~2+3n+1

同理 n~3-(n-1)~3 = 3(n-1)~2+3(n-1)+1
一直计算下去最后的两项是：
3~3-2~3 = 3*2~2+3*2+1
2~3-1~3 = 3*1~2+3*1+1
然后左右相加左边的n~3一直到2~3都抵消掉了得到
(n+1)~3-1~3 = 3n~2+3(n-1)~2+...+3*1~2+ (你需要的式子*3）
3n+3(n-1)+...+3*1+ （一个等差数列）
n*1最后一共有n个1
整理后得到
(n+1)~3-1 = 3*(1*1+2*2+3*3+……+n*n)+3*(1+n)*n/2+n
在整理
1*1+2*2+3*3+……+n*n=1/3*[(n+1)~3-1-3*(1+n)*n/2+n]
将后面的结果整理后就得到n(n+1)(2n+1)/6