Question

已知抛物线y²=4x，直线l的倾斜角为π/4，l过抛物线的焦点F，l与抛物线交于A、B两点，则丨FA丨*丨FB丨

如题。最好详细点。

Answer 1

对于抛物线 y^2=2px (p>0)过焦点F且倾斜角等于θ(θ∈(0,π)的直线交抛物线于点A，B.
则有焦半径公式：|FA|=p/(1-cosθ)；|FB|=p/(1+cosθ)
便有|FA|*|FB|=p^2/(1-cosθ)(1+cosθ)=p^2/(sinθ)^2
由本题已知条件，p=2,θ＝π/4,sinθ=sin(π/4)=√2/2, [sin(π/4)]^2=1/2,
∴ |FA|*|FB|=4/(1/2)=8.

Answer 2

抛物线的焦点为（1，0），过焦点且倾斜角为π/4的直线方程为y=x-1,设A（x1,y1),B(x2,y2),则|FA|=x1+p/2=x1+1,|FB|=x2+1,所以丨FA丨*丨FB丨=（x1+1)*(x2+1)=x1*x2+x1+x2+1
把y²=4x与y=x-1联立，消去y得到x2-6x+1=0,所以：x1+x2=6,x1*x2=1代入得8.