Question

已知A.B是抛物线y^2=2px(p>0）上的两点，且OA垂直OB（o为坐标原点）， 求证：直线AB过定点

x1和x2的乘积是0吗?

Answer 1

设A(x1,y1),Bx2,y2) ,OA垂直OB ,kOA*kOB=(y1/x1)*(y2/x2)=(y1y2)/(x1x2)=-1,y1y2+x1x2=0
当AB不垂直于x轴时，设直线AB：y=k(x-a)，代入y^2=2px,整理得，(k^2)x^2-2[(k^2)a+p]x+(ka)^2=0,
x1x2=[(ka)^2]/(k^2)=a^2,(y1y2)^2=(y1)^2*(y2)^2=2px1*2px2=4p^2*x1x2=4p^2*(a^2),y1y2=-2pa(A,B在x轴两侧，y1*y2<0),y1y2+x1x2=a^2-2pa=a(a-2p)=0,a=2p(AB不过原点，a不等于0），即直线AB过定点(2p,0)
当AB垂直于x轴时,x1=x2,y1=-y2,y1y2+x1x2=(x1)^2-(y1)^2=(x1)^2-2px1=x1(x1-2p)=0,x1=x2=2p,直线AB过定点(2p,0)
综上直线AB过定点(2p,0)

Answer 2

x1+x2=4p^2
建议你采用下面的方法：
由于点A、B在抛物线y^2=2px(p>0）上，
设A (2pm^2，2pm) ，B(2pn^2，2pn),(m≠n，m≠0，n≠0)
由于OA⊥OB
则(2pm^2)(2pn^2)+(2pm)(2pn)
整理得mn=-1
根据A、B两点坐标得直线方程为
(2pm-2pn)x+(2pn^2-2pm^2)+4(p^2)(m^2)n-2(p^2)m(n^2)=0
整理得x-(m+n）y-2p=0
显然，此直线经过定点（2p，0）

Answer 3

过定点就是它的焦点，具体证明步骤
A(y1`2/2p , y1) B(y2`2/2p,y2)
向量OA=(y1`2/2p , y1） OB=(y2`2/2p,y2)
OA*OB=0 （1）

B点到准线的距离等于B到焦点的距离
A点到准线的距离等于B到焦点的距离
列两个方程 （2）

再求出AB与x轴的交点
只要证明AB的交点 与抛物线的焦点是一个点就行了