Question

设a,b,c为三角形三边，S为三角形面积，求证： a^2+b^2+c^2>=(4√3)*S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2

如题。
附：Latex描述:
设a,b,c为三角形三边，S为三角形面积，求证：
a^2+b^2+c^2>=4\sqrt{3}*S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2
谢谢！

Answer 1

【注：（1）在⊿ABC中，由面积公式S=(1/2)absinC可知：(4√3)S=（2√3)absinC.再由“余弦定理”:cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)可知：a²+b²=c²+2abcosC.(2)该题应该用“分析法”】证明：（①）当⊿ABC为等边⊿时，a=b=c,a²+b²+c²=3a².S=(√3/4)a²,===>(4√3)S=3a².∴此时原不等式显然成立。（②）当⊿ABC不是正⊿时，不妨假设a≤c≤b则0º＜∠C＜90º.将原不等式右边展开整理，可知应该证明：(4√3)S+a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca≤0.再将“注解”结果代入，可知应该证明：（2√3)absinC+2c²+2abcosC-2ab-2bc-2ca≤0.<===>2ab[(√3/2)sinC+(1/2)cosC-(1/2)]≤ac+bc-c².易知(√3/2)sinC+(1/2)cosC=sin(C+30º).∴应该证明sin(C+30º)≤(ab+ac+bc-c²)/(2ab).∵a≤c≤b.===>(a-c)(b-c)≤0.===>ab-ac-bc+c²≤0.===>2ab≤ab+ac+bc-c².===>(ab+ac+bc-c²)/(2ab)≥1.显然sin(C+30º)≤1.∴不等式sin(C+30º)≤(ab+bc+ac-c²)/(2ab)成立。逆推上去即知原不等式成立。

Answer 2

楼上的证明很正确。